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By Professor Dr. Michael Ulbrich, Professor Dr. Stefan Ulbrich (auth.)

Das Buch gibt eine Einführung in zentrale Konzepte und Methoden der Nichtlinearen Optimierung. Es ist aus Vorlesungen der Autoren an der TU München, der TU Darmstadt und der Universität Hamburg entstanden. Der Inhalt des Buches wurde insbesondere auf mathematische Bachelorstudiengänge zugeschnitten und hat sich als foundation entsprechender Vorlesungen sowie für eine anschließende Vertiefung im Bereich der Optimierung bewährt. Der Umfang entspricht zwei zweistündigen oder einer vierstündigen Vorlesung, wobei etwa in gleichem Umfang sowohl unrestringierte Optimierungsprobleme als auch Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen behandelt werden.

Im Teil über die unrestringierte Optimierung werden sowohl Trust-Region- als auch Liniensuch-Methoden zur Globalisierung behandelt. Für letztere wird ein ebenso leistungsfähiges wie intuitives Konzept der zulässigen Suchrichtungen und Schrittweiten entwickelt. Die schnelle lokale Konvergenz Newton-artiger Verfahren und ihre Globalisierung sind weitere wichtige Themengebiete. Das Kapitel über restringierte Optimierung entwickelt notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen und geht auf wichtige numerische Verfahren, insbesondere Sequential Quadratic Programming, Penalty- und Barriereverfahren ein. Der Bezug von Barriereverfahren zu den aktuell intensiv untersuchten Innere-Punkte-Verfahren wird ebenfalls hergestellt.

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9 für k ≥ l über in das Newton-Verfahren mit Schrittweite 1. Die q-superlineare bzw. 10. 5 Numerische Beispiele Wir demonstrieren die Leistungsfähigkeit des globalisierten Newton-Verfahrens anhand von zwei Beispielen, mit denen wir bereits das Gradientenverfahren getestet hatten. Anwendung auf die Rosenbrock-Funktion Wir wenden das globalisierte Newton-Verfahren auf die Rosenbrock-Funktion f : R2 → R, f (x) = 100(x2 − x12 )2 + (1 − x1 )2 an. Das Minimum liegt bei x¯ = (0, 0)T mit Funktionswert f (¯x ) = 0.

28542e+00 .. 06015e–01 .. 50 .. A. schlechte Konvergenzrate des Gradientenverfahrens veranlasst uns, anstelle der Suchrichtung sk = −∇f (x k ) andere Suchrichtungen zu verwenden, die zu schneller konvergenten Verfahren führen. 1 global konvergent? Hierbei verstehen wir unter globaler Konvergenz die folgende (oder eine vergleichbare) Eigenschaft: x¯ Häufungspunkt von (x k ) ⇒ ∇f (¯x ) = 0. Damit ein Algorithmus global konvergiert, müssen wir zwei Dinge sicherstellen: • Die Suchrichtungen sind hinreichend gute Abstiegsrichtungen.

Nach dem Mittelwertsatz gibt f (x k + tk sk ) − f (x k ) tk ∇f (x k + k sk )T sk = lim = − ∇f (¯x ) 2 , k→∞ K k→∞ tk tk lim lim K k→∞ ∇f (x k ) 2 = ∇f (¯x ) 2 . 9) der Widerspruch 0 < (1 − ) ∇f (¯x ) Annahme ∇f (¯x ) = 0 falsch und der Beweis ist beendet. 2 ≤ 0. Somit war die Bemerkung. Die Armijo-Regel kann auf vielfache Weise geeignet modifiziert werden, ohne dass der Konvergenzsatz seine Gültigkeit verliert. Wesentlich ist, dass man im Fall ( k )K → 0 eine Nullfolge (tk )K von Schrittweiten konstruieren kann, für die die Armijo-Bedingung verletzt ist.

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