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By A.K. Boiarchuk ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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Dado que M * z) Yj9Á 2—>00 3=1 las funciones f y se comportan de la misma manera cuando z tiende a infinito. Supongamos que / (y, por tanto,

G'í W (-D" z — 717T Tm la frontera del cuadrado con vértices en los puntos (m + * ( ± 1 ± t). Estimemos la función — : 1) en los lados del cuadrado paralelos al eje imaginario; 2) en los lados del cuadrado paralelos al eje real. (z) - — . 3, 717T sen z (-1)" "V 1 Z — 717T 7Í—-00 1 1 717T (—l)"2z °° n=l 1 Z 2 - 7l 2 7T 2 Solución. Cambiando z por iz en (12), p. 3, y simplificando por —i, obtenemos , 1 ^ 2z n=l de donde resulta z z z z = - - + - cth - = ez - l 2 2 2 2z 2 z2 + 4n27r2' n-l Solución.

3, y simplificando por —i, obtenemos , 1 ^ 2z n=l de donde resulta z z z z = - - + - cth - = ez - l 2 2 2 2z 2 z2 + 4n27r2' n-l Solución. r ctg «7T n 6 Z0, 2a sen afl«« 7T = 7T = senair 1 -iv« eos nx n=l ÉOS CK7T sen «7r A A—' 1 a1¿ — ex - n1' n=l Efectuando una prolongación analítica del eje real al plano complejo, llegamos a la solución del problema planteado: oo _ 1 22 z zÁ — n2 n=1 § 3. Productos infinitos El análisis de las funciones en el plano complejo revela no sólo sus propiedades nuevas y hasta inesperadas (por ejemplo, la relación entre la función exponencial y las funciones trigonométricas), sino también permite agruparlas en clases.

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